|
|
\documentclass[a4paper,11pt, fleqn, reqno, oneside]{report}
|
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
|
\usepackage{polski}% polska czcionka
|
|
|
\usepackage[polish]{babel}
|
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
|
\usepackage{amsthm}
|
|
|
%\usepackage{indentfirst}
|
|
|
\usepackage[hmargin=2.5cm, vmargin=2.5cm, hcentering]{geometry}
|
|
|
\usepackage{setspace} %Pakiet do lokalnej zmiany interlinii
|
|
|
\usepackage{enumerate} %Pakiet do robienia niestandardowych list.
|
|
|
\usepackage{ulem} %Pakiet do tekstu z kropkami pod nim
|
|
|
\usepackage{xcolor}
|
|
|
%dodatkowe operatory matematyczne
|
|
|
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} %funkcja signum
|
|
|
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert #1\right\Vert} %norma \norm{x}=||x||
|
|
|
\newcommand{\ilsk}[2]{\left\langle #1 , #2\right\rangle} %iloczyn skalarny \ilsk{x}{y}=<x,y>
|
|
|
|
|
|
%definicje różnych oznaczeń zbiorów
|
|
|
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} %zb. liczb rzeczywistych
|
|
|
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} %zb. liczb naturalnych
|
|
|
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} %zb. liczb zespolonych
|
|
|
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %zb. liczb całkowitych
|
|
|
\newcommand{\K}{\mathbb{K}} %oznaczenie na ciało K
|
|
|
\newcommand{\CB}{\mathcal{B}} %oznaczenie na B pisane, np w przestrzeni zbiorów ograniczonych lub sigma ciałach borelowskich
|
|
|
|
|
|
%style potrzebne dla zmiany domyślnych styli twierdzeń i definicji
|
|
|
\newtheoremstyle{crr1}% styl dla twierdzeń
|
|
|
{\topsep}% Space above, empty = `usual value'
|
|
|
{\topsep}% Space below
|
|
|
{\itshape}% Body font - czcionka pochylona
|
|
|
{0pt}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
|
|
|
{\bfseries}% Thm head font
|
|
|
{.}% Punctuation after thm head
|
|
|
{ }% Space after thm head: \newline = linebreak or " "
|
|
|
{\thmname{#1}\thmnumber{ #2}\thmnote{ (\textit{#3})}}% Thm head spec
|
|
|
|
|
|
\newtheoremstyle{crr2}% styl dla definicji
|
|
|
{\topsep}% Space above, empty = `usual value'
|
|
|
{\topsep}% Space below
|
|
|
{\normalfont}% Body font - czcionka normalna
|
|
|
{0pt}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
|
|
|
{\bfseries}% Thm head font
|
|
|
{.}% Punctuation after thm head
|
|
|
{ }% Space after thm head: \newline = linebreak or " "
|
|
|
{\thmname{#1}\thmnumber{ #2}\thmnote{ (\textit{#3})}}% Thm head spec
|
|
|
%definicja różnych matematycznych środowisk
|
|
|
\theoremstyle{crr1}
|
|
|
\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[chapter]
|
|
|
\newtheorem{lem}[tw]{Lemat}
|
|
|
\newtheorem{wn}[tw]{Wniosek}
|
|
|
\theoremstyle{crr2}
|
|
|
\newtheorem{df}[tw]{Definicja} %chapter - numeracja wg rozdziału, section - wg "sekcji"
|
|
|
\newtheorem{prz}[tw]{Przykład} %Dodanie [df] sprawia, że przykłady i definicje będą miały wspólną numerację
|
|
|
\newtheorem{uw}[tw]{Uwaga}
|
|
|
%definiowanie środowiska dla dowodu
|
|
|
\newenvironment{dwd}{\noindent{\bf Dowód:}\rm }{\hfill\qed\par}
|
|
|
% potrzebne gdy wyświetla się "Spis rzeczy" zamiast "Spis treści" i "Literatura" zamiast "Bibliografia"
|
|
|
\addto\captionspolish{\renewcommand{\contentsname}{Spis treści}}
|
|
|
\addto\captionspolish{\renewcommand{\bibname}{Bibliografia}}
|
|
|
%-----------------------------------------------------------------------------------
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
\setlength{\mathindent}{20pt}% wcięcie wzorów matematycznych
|
|
|
\begin{titlepage}
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
{\LARGE Uniwersytet Śląski w Katowicach}
|
|
|
\vskip 1cm
|
|
|
{\LARGE Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii}
|
|
|
\vskip 1cm
|
|
|
{\LARGE Instytut Matematyki}
|
|
|
\vskip 3cm
|
|
|
{\Large \bf Imię i nazwisko}% wstaw swoje dane
|
|
|
\vskip 1cm
|
|
|
{\large Numer albumu 012345}% numer albumu
|
|
|
\vskip 2.5cm
|
|
|
\begin{doublespace}
|
|
|
{\huge \bf RÓWNANIA FUNKCYJNE ORAZ ICH STABILNOŚĆ}% tytuł pracy
|
|
|
\end{doublespace}
|
|
|
\vskip 2.5cm
|
|
|
{\large PRACA DYPLOMOWA\\LICENCJACKA (lub MAGISTERSKA/INŻYNIERSKA)}
|
|
|
\end{center}
|
|
|
\vspace{3.0cm}
|
|
|
\begin{flushright}
|
|
|
\parbox{4.5cm}{Promotor: \\
|
|
|
Dr Radosław Łukasik}
|
|
|
\end{flushright}
|
|
|
\vspace{3cm}
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
Katowice 2019% rok
|
|
|
\end{center}
|
|
|
\newpage
|
|
|
\thispagestyle{empty}
|
|
|
\noindent
|
|
|
Słowa kluczowe: \dotuline{równanie Cauchy'ego, Jensena, stabilność\hfill}\\% wstaw swoje słowa kluczowe max 2 linijki
|
|
|
\par \dotuline{\hfill}\\[1cm]
|
|
|
\textbf{Oświadczenie autora pracy}\\[1cm]
|
|
|
Ja niżej podpisany/a:\\
|
|
|
\par imię (imiona) i nazwisko \dotuline{Jan Kowalski\hfill}\\% wstaw swoje dane
|
|
|
\par autor pracy dyplomowej pt. \dotuline{Klasyczne równania funkcyjne\hfill}\\% wstaw swój tytuł
|
|
|
\par\dotuline{\hfill}\\%
|
|
|
\par\dotuline{\hfill}\\% razem 3 linie na tytuł jeśli jest ich więcej usuń
|
|
|
|
|
|
\noindent Numer albumu: 012345\\% wstaw numer albumu
|
|
|
|
|
|
\noindent Student/ka Wydziału Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach\\
|
|
|
|
|
|
\noindent kierunku studiów\\
|
|
|
\dotuline{Matematyka\hfill}\newline
|
|
|
|
|
|
\noindent specjalności\\
|
|
|
\dotuline{Matematyka nauczycielska\hfill}\\% wstaw swoją specjalność
|
|
|
|
|
|
\noindent Oświadczam, że ww. praca dyplomowa:
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item
|
|
|
została przygotowana przeze mnie samodzielnie\footnote{uwzględniając merytoryczny wkład promotora (w ramach prowadzonego seminarium dyplomowego)},
|
|
|
\item
|
|
|
nie narusza praw autorskich w rozumieniu ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych (tekst jednolity Dz. U. z 2006 r. Nr 90, poz. 631, z późn. zm.) oraz dóbr osobistych chronionych prawem cywilnym,
|
|
|
\item
|
|
|
nie zawiera danych i informacji, które uzyskałem/-am w sposób niedozwolony,
|
|
|
\item
|
|
|
nie była podstawą nadania dyplomu uczelni wyższej lub tytułu zawodowego ani mnie, ani innej osobie.
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
\vskip 1cm
|
|
|
Oświadczam również, że treść pracy dyplomowej zamieszczonej przeze mnie w Archiwum Prac Dyplomowych jest identyczna z treścią zawartą w wydrukowanej wersji pracy.\\[1cm]
|
|
|
\textbf{Jestem świadomy/a odpowiedzialności karnej za złożenie fałszywego oświadczenia.}\\[1cm]% lub Jestem świadomy
|
|
|
\parbox{6cm}{\dotfill\center{Data}}\hfill\parbox{6cm}{\dotfill\center{Podpis autora pracy}}
|
|
|
\end{titlepage}
|
|
|
\setcounter{page}{1}
|
|
|
\tableofcontents %wyświetlanie spisu treści
|
|
|
|
|
|
\chapter*{Wstęp}
|
|
|
\addcontentsline{toc}{chapter}{Wstęp}
|
|
|
We wstępie opiszemy z grubsza co robimy w tej pracy.
|
|
|
|
|
|
\chapter{Pierwszy rozdział}
|
|
|
\begin{df}
|
|
|
\label{def1.1}
|
|
|
Funkcję $f \colon \R^N \to \mathbb{R} $ nazywamy addytywną
|
|
|
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ona równanie Cauchy'ego, to znaczy
|
|
|
\begin{equation}%jednolinijkowy wzór z numerem
|
|
|
\label{eq1.1}
|
|
|
f(x+y)=f(x)+f(y),\ x,y\in\R^N.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
\end{df}
|
|
|
Do równania \eqref{eq1.1} się tutaj odwołamy (\ref{eq1.1}). Jest to równanie z definicji \ref{def1.1}
|
|
|
|
|
|
\begin{lem}
|
|
|
Jeżeli $f \colon \R^N \to \R$ jest addytywna to:
|
|
|
\begin{equation*}%jednolinijkowy wzór bez numeru
|
|
|
f(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i})=\sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i})
|
|
|
\end{equation*}
|
|
|
dla każdego $n \in \N$ i dla wszystkich $x_1,x_2,...,x_n \in\N^N$.
|
|
|
\end{lem}
|
|
|
\begin{dwd}
|
|
|
Zauważmy, że
|
|
|
\begin{align*}%wielolinjkowe obliczenia/wzory bez numeracji
|
|
|
f(\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i)= f(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i + x_{n+1})= f(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i) + f(x_{n+1})
|
|
|
= \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i) +f(x_{n+1}) = \sum \limits_{i=1}^{n+1} f(x_i)
|
|
|
\end{align*}
|
|
|
\end{dwd}
|
|
|
|
|
|
\begin{lem}
|
|
|
Jeżeli %$f_{1} \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ i
|
|
|
$f_1,f_2 \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$
|
|
|
są funkcjami addytywnymi, to dla wszystkich $a,b\in\mathbb{R}$ funkcja
|
|
|
$f=af_{1}+bf_{2}$ jest addytywna.
|
|
|
\end{lem}
|
|
|
\begin{dwd}
|
|
|
Ustalmy $x,y \in \R^N$.
|
|
|
Wówczas
|
|
|
\begin{align*}
|
|
|
f(x+y) &=af_1(x+y) + bf_2(x+y)%= \\
|
|
|
=a\Big( f_1(x) +f_1(y)\Big) + b\Big(f_2(x)+f_2(y)\Big) \\
|
|
|
&=af_1(x) + bf_2(x) +af_1(y) + bf_2(y)
|
|
|
= f(x)+f(y).
|
|
|
\end{align*}
|
|
|
\end{dwd}
|
|
|
|
|
|
\chapter{Rozdział drugi}
|
|
|
|
|
|
Rozważmy równania funkcyjne:
|
|
|
\begin{eqnarray}%zamiast align
|
|
|
E(x+y)&=& E(x) \cdot E(y) \label{eq:20a} \\ %E
|
|
|
L(xy)&=& L(x) + L(y) \label{eq:20b} \\ %L
|
|
|
M(xy)&=& M(x) \cdot M(y) \label{eq:20c} % M
|
|
|
\end{eqnarray}
|
|
|
znane jako warianty równania Cauchy'ego.\\
|
|
|
Będziemy je odpowiednio nazywać: wykładnicze, logarytmiczne i multiplikatywne.
|
|
|
|
|
|
\section{Równanie wykładnicze}
|
|
|
Coś piszemy w podrozdziale.
|
|
|
|
|
|
\section{Równanie logarytmiczne}
|
|
|
\begin{uw}
|
|
|
Rozwiązania tego równania można znaleźć w \cite{Kuczma2009}. Pewne uogólnienia znajdują się za to w pracy R. Łukasika (patrz~\cite[Theorem 2]{Lukasik2014}).
|
|
|
\end{uw}
|
|
|
|
|
|
Rozpatrzmy następujący wykres funkcji (lepiej robić w zewnętrznym programie w formacie eps):\\
|
|
|
\setlength{\unitlength}{0.1mm}%definicja jednostki
|
|
|
\begin{picture}(1000,500)
|
|
|
\linethickness{1mm}%grubość linii
|
|
|
\put(100,100){\textcolor{red}{\line(1,1){300}}}
|
|
|
\linethickness{0.5mm}
|
|
|
\linethickness{0.1mm}\put(0,250){\vector(1,0){1000}}
|
|
|
\linethickness{0.1mm}\put(500,0){\vector(0,1){500}}
|
|
|
\thicklines
|
|
|
\put(25,25){\textcolor{blue}{\circle{30}}}
|
|
|
\put(500,250){\textcolor{green}{\circle*{30}}}
|
|
|
\put(950,200){\mbox{$t$}}
|
|
|
\put(520,450){\mbox{$f(t)$}}
|
|
|
\qbezier(500,250)(550,400)(1000,500)
|
|
|
\end{picture}
|
|
|
|
|
|
$$\ilsk{x}{x}=\norm{x}^2$$
|
|
|
$$n^2 \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \infty$$
|
|
|
%bibliografia
|
|
|
\begin{thebibliography}{99}
|
|
|
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia} %dodajemy ją do spisu treści
|
|
|
\bibitem{AD1989}
|
|
|
J. Acz{\'e}l, J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, Cambridge (1989).
|
|
|
\bibitem{Kannappan}
|
|
|
Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009 \\
|
|
|
\bibitem{Kuczma2009}
|
|
|
M. Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
|
|
|
\bibitem{Lukasik2014}
|
|
|
Radosław Łukasik, Some generalization of the quadratic and Wilson’s functional equation, \textit{Aequat. Math.} \textbf{87} (2014), 105--123.
|
|
|
|
|
|
\end{thebibliography}
|
|
|
\end{document}
|