{\huge \bf RÓWNANIA FUNKCYJNE ORAZ ICH STABILNOŚĆ}% tytuł pracy
{\LARGE \bf OPTYMALIZACJA KOMPRESJI OBRAZÓW \\W FORMACIE JPEG ZA POMOCĄ METOD UCZENIA MASZYNOWEGO}% tytuł pracy
\end{doublespace}
\vskip2.5cm
{\large PRACA DYPLOMOWA\\LICENCJACKA (lub MAGISTERSKA/INŻYNIERSKA)}
\vskip1cm
{\large PRACA DYPLOMOWA\\MAGISTERSKA}
\end{center}
\vspace{3.0cm}
\begin{flushright}
\parbox{4.5cm}{Promotor: \\
Dr Radosław Łukasik}
Dr Rafał Skinderowicz}
\end{flushright}
\vspace{3cm}
\begin{center}
Katowice 2019% rok
Sosnowiec 2024% rok
\end{center}
\newpage
\thispagestyle{empty}
\noindent
Słowa kluczowe: \dotuline{równanie Cauchy'ego, Jensena, stabilność\hfill}\\% wstaw swoje słowa kluczowe max 2 linijki
\par\dotuline{\hfill}\\[1cm]
Słowa kluczowe: \dotuline{kompresja, uczenie maszynowe, DCT, dyskretna transformata kosinusowa, JPEG\hfill}\\[1cm]% wstaw swoje słowa kluczowe max 2 linijki
\textbf{Oświadczenie autora pracy}\\[1cm]
Ja niżej podpisany/a:\\
\par imię (imiona) i nazwisko \dotuline{Jan Kowalski\hfill}\\% wstaw swoje dane
\par autor pracy dyplomowej pt. \dotuline{Klasyczne równania funkcyjne\hfill}\\% wstaw swój tytuł
\par\dotuline{\hfill}\\%
\par\dotuline{\hfill}\\% razem 3 linie na tytuł jeśli jest ich więcej usuń
\par imię (imiona) i nazwisko: \dotuline{Wojciech Janota\hfill}\\% wstaw swoje dane
\par autor pracy dyplomowej pt. \dotuline{Optymalizacja kompresji obrazów w formacie JPEG\hfill}\\% wstaw swój tytuł
\par\dotuline{za pomocą metod uczenia maszynowego\hfill}\\%
\noindent Numer albumu: 012345\\% wstaw numer albumu
\noindent Numer albumu: 354540\\% wstaw numer albumu
\noindent Student/ka Wydziału Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach\\
\noindent Student/ka Wydziału Nauk Ścisłych i Technicznych Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach\\
\noindent kierunku studiów\\
\dotuline{Matematyka\hfill}\newline
\dotuline{Informatyka\hfill}\newline
\noindent specjalności\\
\dotuline{Matematyka nauczycielska\hfill}\\% wstaw swoją specjalność
\dotuline{Analiza Danych\hfill}\\% wstaw swoją specjalność
\noindent Oświadczam, że ww. praca dyplomowa:
\begin{itemize}
@ -132,100 +131,31 @@ Oświadczam również, że treść pracy dyplomowej zamieszczonej przeze mnie w
\chapter*{Wstęp}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Wstęp}
We wstępie opiszemy z grubsza co robimy w tej pracy.
\chapter{Pierwszy rozdział}
\begin{df}
\label{def1.1}
Funkcję $f \colon\R^N \to\mathbb{R}$ nazywamy addytywną
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia ona równanie Cauchy'ego, to znaczy
\begin{equation}%jednolinijkowy wzór z numerem
\label{eq1.1}
f(x+y)=f(x)+f(y),\ x,y\in\R^N.
\end{equation}
\end{df}
Do równania \eqref{eq1.1} się tutaj odwołamy (\ref{eq1.1}). Jest to równanie z definicji \ref{def1.1}
Będziemy je odpowiednio nazywać: wykładnicze, logarytmiczne i multiplikatywne.
\section{Równanie wykładnicze}
Coś piszemy w podrozdziale.
\section{Równanie logarytmiczne}
\begin{uw}
Rozwiązania tego równania można znaleźć w \cite{Kuczma2009}. Pewne uogólnienia znajdują się za to w pracy R. Łukasika (patrz~\cite[Theorem 2]{Lukasik2014}).
\end{uw}
Rozpatrzmy następujący wykres funkcji (lepiej robić w zewnętrznym programie w formacie eps):\\
\setlength{\unitlength}{0.1mm}%definicja jednostki
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia}%dodajemy ją do spisu treści
\bibitem{AD1989}
J. Acz{\'e}l, J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, Cambridge (1989).
\bibitem{Kannappan}
Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009 \\
\bibitem{Kuczma2009}
M. Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
\bibitem{Lukasik2014}
Radosław Łukasik, Some generalization of the quadratic and Wilson’s functional equation, \textit{Aequat. Math.}\textbf{87} (2014), 105--123.
\end{thebibliography}
\section*{Wprowadzenie}
\paragraph{}
Na przełomie lat 90 i 2000 ubiegłego wieku miała miejsce rewolucja w podejściu do sposobu korzystania z komputerów. Internet, bo to o nim mowa, stał się integralną częścią życia codziennego ludzi na całym świecie,
co zrodziło całą klasę nowych wyzwań dla informatyków. Jednym z największych problemów, które musiały zostać rozwiązane, było zmniejszenie ilości danych przesyłanych przez sieć. Było to podyktowane ograniczeniami technologicznymi, między innymi
małymi przepustowościami sieci, czy też dopiero rodzącymi się standardami. Wtedy też powstawały pierwsze algorytmy do kompresji obrazów, które
były kluczowe dla rozwoju Internetu, jaki znamy dzisiaj.
Jednym z pierwszych, a zarazem bardziej popularnych formatów kompresji obrazów został standard JPEG\footnote{ISO/IEC 10918} w wersji 1.
Prace nad nim rozpoczęto już w 1986 roku, natomiast gotowy projekt zaprezentowano w roku 1992. Ostatnia jego wersja pojawiła się w roku
1994\cite{jpeg_1_website}. Do dziś jest najbardziej rozpowszechnionym formatem, w którym przesyłane są obrazy, zdjęcia, a większość urządzeń potrafi go zdekodować i wyświetlić.
W ostatnich latach powstało wiele ,,następców'' formatu JPEG, którzy oferują wyższy stopień kompresji oraz lepszą jakość obrazu. Należą do nich m.in.:
\begin{itemize}
\item JPEG XL - nowy standard opracowany przez konsorcjum JPEG, zaprezentowany w 2022 roku. Skupia się na balansie pomiędzy stopniem kompresji, prędkości dekodowania i enkodowania oraz jakością\cite{jpeg_xl_website},
\item HEIC/HEIF - opracowany przez grupę ekspercką MPEG\footnote{The Moving Picture Experts Group} i zaprezentowany w 2015 roku. Opiera się na formacie HEVC\footnote{High Efficiency Video Coding}, zapewnia rozmiar pliku wyjściowego o około 50\% mniejszy w porównaniu do klasycznego JPEG (przy zachowaniu podobnej jakości)\cite{heif_website},
\item WEBP - opracowany przez Google oraz zaprezentowany w 2010 roku. Opiera się na enkoderze VP8, zapewnia kompresję o około 20-30\% lepszą od JPEG przy podobnej jakości\cite{webp_google_website}.
